Una scrittura privata non può cambiare l'assegno divorzile

Riconosco alla mia ex moglie un assegno divorzile, come da relativa sentenza. L'assegno è annualmente rivalutato secondo l'indice Istat. La mia ex coniuge non ha altri redditi se non la casa di residenza, con due box pertinenziali e un piccolo terreno (orticello). Si tratta dunque di un reddito minimo, ma con la rivalutazione dell'assegno si è superato il limite di 8.500 euro annui, che consentiva l'esonero dalla presentazione del modello 730 e, quindi, una parte significativa della rivalutazione viere erosa dal prelievo fiscale. Poiché abbiamo concordato una riduzione dell'assegno per ristabilire le condizioni di esonero, vorrei sapere se la relativa scrittura privata vada registrata e se debba contenere note particolari, al di là della modifica dell'importo.